有理数的概念 数学是科学之王。 ——高斯 模块一 正数和负数 模块二 有理数的概念及分类 模块三 数轴 模块四 相反数&倒数 模块五 绝对值第一讲 1 第一讲 有理数的概念 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 一、正数和负数 在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下4?C和零上6?C，收入20元和支出30元，向东30米和向西100米等等．这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数： 1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数． 【例】以上几个例子分别记为：4??C和6??C，20?元和20?元，30?米和100?米. 2．正数：像30、 6、12、?这样的数叫做正数，正数都大于零； 3．负数：在正数前面加上“?”号的数叫做负数，比如：20?、3.14?、0.001?、172?． 【注】①表示正数时，“ ”号可以省略，但表示负数时，“?”号一定不能省略； ②数0既不是正数也不是负数． 二、有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： ????????????????????正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数 （2）有理数按符号分类 ?????????????????正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． ????????有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数——不可化成分数，是无理数 ——可化成分数，是有理数 2 初一数学目标名校直升班 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 三、数轴 1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素； ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如?． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 四、相反数&倒数 1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． 【例】5?与5?互为相反数；5?是5?的相反数； 【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“5?是相反数”是错误的. 2．相反数的性质： （1）代数性质：若a与b互为相反数，则0ab??；反之，若0ab??，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 2??1?012 02 1?01 012 2?01 123 1?01 201 101? 101? 3 第一讲 有理数的概念 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 3．倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数． 【例】2与12，3?与13?，38?与83?． 4．负倒数：乘积为1?的两个有理数互为负倒数． 【例】2与12?，3?与13，38?与83． 【注】①0没有倒数，也没有负倒数； ②倒数是它的本身的数1或??． 五、绝对值 1．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． (0)0(0)(0)aaaaaa?????????? 3．绝对值的性质： （1）非负性：| | 0a?； （2）双解性：若| | | |ab?，则ab?或ab??． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 例如，若| | | | | |abc? ? ? ?，则a??，b??，c??． （1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局； ②气温为3C??与气温升高30 C?； ③盈利5万元与亏损5万元； ④增加10%与减少20%． 其中具有相反意义的量有（ ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 （2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作 2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________． ②如果80m表示向东走80m，那么60 m?表示________________． ③A，B两地海拔高度分别是120米，10?米，则B地比A地低________米． （3）学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“600 30(ml)?”字样，请问“600 30(ml)?”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml，611ml，589ml，573ml，627ml，问抽查产品的容量是否合格？ 模块二 有理数的概念及分类 例题1 模块一 正数和负数 4 初一数学目标名校直升班 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 （1）下列说法错误的是（ ） A．0既不是正数也不是负数 B．正整数和负整数统称整数 C．整数和分数统称有理数 D．正有理数包括正整数和正分数 （2）把下列各数分别填在所属分类里： 5?，0，3.14?，32，2.4?，227，327，?，5.5?，.??&，311?，3.14159，34?，2003 ①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }； （3）在下表适当的空格里打上“√”号． 整数 分数 正数 负整数 正分数 非负数 非负整数 无理数 0 .?? ? ?? .?? ?? ?? .? ??& π 98? （1）下面图形是数轴的是（ ） A． B． C． D． （2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______． （3）已知：点A在数轴上的位置如图所示，点B也在数轴上，且A、B两点之间的距离是2，则点B表示的数是______． 例题3 模块三 数轴 例题2 123?2?01?3 122?1?0 123 2?1?012 1.3?2.6 A3?O 5 第一讲 有理数的概念 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 ab0 （4）在数轴上标出下列各数：0，4.2-，132，2-， 7，113，并用“<”连接． （1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________． （2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________． （3）数轴上的点A对应的数是1?，一只蚂蚁从A点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B点后，用2秒的时间吃光了B点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B点与A点的距离是多少个单位长度？B点对应的数是多少？ （1）2017?的相反数是________，2017与________互为相反数． （2）已知有理数a、b在数轴上表示如图，则a、b、a?、b?的大小，正确的是（ ） A．abab? ? ? ? ? B．abba? ? ? ? ? C．baab? ? ? ? ? D．abba? ? ? ? ? （3）下列说法正确的是（ ） A．一个数的相反数一定是负数 B．?和.?? ??互为相反数 C．所有的有理数都有相反数 D．13和31互为相反数 例题5 模块四 相反数&倒数 例题4 7?6?5?4?3?2?1?01234567 6 初一数学目标名校直升班 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 我们可以用字母表示数，比如a、b都能代表一个数，在一个数的前面添上“?”号，就得到这个数的相反数． （1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a的相反数是________； （2）5?的相反数是_______，12?的相反数是________，4?的相反数是________；数a?的相反数是________； （3）( 2)??的相反数是________；( 5)??的相反数是________，数()a??的相反数是________，数()a??的相反数是_______；()ab? ? ?与________互为相反数． 如果a??，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a??； ②()a??； ③[ ()]a? ? ?； ④[ ()]a? ? ?； ⑤{ [ ()]}a? ? ? ?； ⑥{ { { { { [ ()]}}}}}a? ? ? ? ? ? ? ? （1）2017?的倒数是________，2017与________互为负倒数． （2）一个数的倒数等于它本身，这个数是_________；一个数的倒数等于它的相反数，则这个数________． （3）已知a、b为有理数，在数轴上如图所示，则（ ） A．ab????? B．ab??? ?? C．ba??? ?? D．ba???? ? 例题8 例题7 例题6 1?a01b 7 第一讲 有理数的概念 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 （1）2017?的绝对值是_________，| 2017 |??的相反数是________，| 2017 |?与________互为倒数． （2）①绝对值不大于3的整数有________； ②绝对值大于2而小于5的负整数是________． （3）①若m、n满足|| ||=mn?? ? ?? ?，则mn的值等于________； ②| |||xy? ? ??，则xy?________． （4）已知|5|a?，| | 2b?，则||ab?的值是__________． （1）下列说法正确的个数（ ） ①()a??表示正数；②||a一定是正数，||a?一定是负数；③绝对值等于本身的数只有两个，是0和1；④如果| | | |ab?，则ab?． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 （2）若x表示有理数，则||x??一定是（ ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 （3）下列说法正确的是（ ） A．若a表示有理数，则a?表示非正数 B．和为零的两数互为相反数 C．一个数的绝对值必是正数 D．若| | | |ab?，则ab? ? ? 例题10 例题9 模块五 绝对值 8 初一数学目标名校直升班 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 （1）如果节约16吨水记作 16吨，则浪费6吨水记作__________． （2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做 0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________． （3）把下列各数填入表示它所在的大括号： .?? ?，3，2.008，????，???，.?? ??&&，0，()? ??，3.14，||? ??． 正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ } （1）下列说法正确的是（ ） A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有 B．正有理数和负有理数组成全体有理数 C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数 D．零既不是正数，也不是负数 （2）下列说法不正确的是（ ） A．绝对值等于本身的数是非负数 B．倒数等于本身的数有2个 C．有理数可分为整数和分数 D．两个负数比较大小，绝对值越大的数越大 演练2 演练1 复习巩固 9 第一讲 有理数的概念 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 （1）如图，表示数轴正确的是（ ） A． B． C． D． （2）已知点A，点B在数轴上，点A表示数为??，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是________． （3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：??，??，???，.?? ?，5． （4）已知，ab为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a?，b?，0，1的大小关系为_______________． （1）点A在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A点表示的数是________． （2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在??的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A．?? B．4 C．2 D．0 （1）??与________互为相反数；a???是________的相反数． （2）()? ??的相反数是________；b??是________的相反数． （3）{ [ ()]}? ? ? ?? ?________；{ [ ( )]}? ? ? ??与________互为相反数． （1）||||xy? ?? ?? ?? ? ?，求xy?________． 021-1-23-2-1120-2-112023-2-110演练6 演练5 演练4 演练3 10ba 10 初一数学目标名校直升班 笔 记 区 ——用科技推动教育进步 （2）????的倒数是________，3.75的负倒数是___________． （3）给出下面说法：①互为相反数的两数的绝对值相等；②一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；③若||mm?，则0m?；④若| | | |ab?，则ab?，其中正确的有______．